数学是人类发明的还是发现的

每一位数学家都会支持孔涅。我们都感到整数、圆在某种抽象意义上是真实存在的，并且柏拉图的观点十分有吸引力。但是，我们真的能支持它吗？假如宇宙是一维空间，或者甚至是离散的，很难想象几何学在这个一维空间中是如何孕育发展的。对人类来说，我们对整数似乎更在行，计数是真正的原始概念。但是想象一下，如果文明不是出现在人类之中，而是出现在潜藏于太平洋深处、独居并与世隔绝的水母之中，情况又会如何？水母不会有个体的体验，只会感觉到周围的水。运动、温度和压力将给它提供基本的感知经验。在这样的环境中，就不会出现离散的概念，也不需要技术。

为什么把欧几里得定义的黄金分割概念视为一种发明？这是因为欧几里得凭借富有创意的思想，把这个比例挑选了出来，进行了详细的分析，并成功地吸引了其他数学家的注意。不过值得注意的是，古代中国没有明确阐释黄金分割率的概念，目前发现的中国古代数学文献中基本上没有对它的具体描述。同样，古印度也没有发明黄金分割率的概念，只是在研究三角学的一些定理时隐约提到了这个比例。

许多例子可以证明，数学是发现还是发明这个问题其实是一个伪命题。数学是发明和发现的结合！作为一种概念，欧几里得几何学中的公理是发明，正如国际象棋的规则是人类的发明一样。公理被人类发明的各种概念不断补充，如三角形平行四边形椭圆黄金分割率等。但从总体而言，欧几里得的几何学定理又都是发现，它们是连接不同概念的桥梁。在某些情况下，证明催生了定理数学家仔细研究什么是能证明的，并从中总结、推演出定理。还有另一种情况，正如阿基米德在《方法论》中所描述的，数学家首先找出自己感兴趣的某个问题的答案，之后再寻找证明方法。

一般情况下，概念是被发明的。比如质数这一基本概念是被数学家发明的，但是，关于质数的相关定理却是人们的发现。[5]在古巴比伦、古埃及和古代中国，当时的数学家们尽管已经发展出了先进的数学理论，但他们从未提出过质数的概念。我们能说，他们只是没有发现质数吗？这就好比说，英国没有发现唯一的汇编成法典的宪章。正如一个国家在没有宪法时也能正常运转一样，没有质数的概念，复杂的数学也能不断发展。在历史上，数学的确也是这样发展的！

是什么原因促使古希腊人发明了公理和质数等概念？我们无法确定。但我们可以猜想，这要归功于他们坚持不懈地探索宇宙基本结构的努力。质数是数的基石，正如原子是物质构成的基础。同样公理犹如一口源泉，所有的几何真理都从中源源不断地喷涌而出。正十二面体被视为代表了整个宇宙，而正是黄金分割率的概念引入了这一象征。

这些讨论揭露了数学又一个有趣的特性，数学是人类文明的重要组成部分。在古希腊人发明了公理方法以后，西方所有后续的数学理论都遵循这一方法，并接受了同样的哲学和实践方式。人类学家莱斯利怀特曾试图概括、总结数学中体现的人类文明，他说假如牛顿是在霍屯督部落南非的一个原始部落长大成人的，他的计算能力可能只和霍屯督人一样。许多数学发现如纽结不变量，甚至一些意义重大的数学发明如微积分，都是由不同数学家在独立的工作中实现的，这恐怕都源于数学体现出的文化复杂性。